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실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) x < 2인 모든 실수 x에 대하여 f(x) = x² + ax + b이다. (나) 모든 실수 x에 대하여 f(x+4) = f(x) + 6x + 6이다. 함수 f(x)가 x = 3에서 미분가능하고 f(3) = 7일 때, f(5)의 값은? (단, a, b는 상수이다.) [변형 유형] 문제 수치 일부를 +2만큼 치환한 훈련 문제입니다.
정답: 3번
해설: 조건 (나)에서 f(x+4) = f(x) + 6x + 6 = f(x) + (x+4)² − x²을 관찰. 즉 f(x+4) − (x+4)² = f(x) − x². g(x) = f(x) − x²으로 놓으면 g(x+4) = g(x). g는 주기 4인 주기함수. x < 2이면 f(x) = x² + ax + b이므로 g(x) = ax + b (x < 2). 주기 4이므로 2 ≤ x < 4인 영역에서 g(x) = g(x−4) = a(x−4) + b (x−4 < 2, 즉 x < 4이므로 적용 가능). 따라서 2 ≤ x < 4에서 g(x) = ax − 4a + b. f(x) = g(x) + x²이므로 2 ≤ x < 4에서 f(x) = x² + ax − 4a + b. 핵심 전략: f(x+4) = f(x) + 6x + 6를 보면 g(x) = f(x) − x²은 주기 4인 주기함수임을 파악하는 것이 핵심. x = 2에서의 연속성으로 상수 결정 후 점화식으로 f(5)을 계산합니다. [변형 메모] 반자동 생성 문제입니다. 원문 풀이 구조를 유지한 채 수치 일부를 +2 치환했습니다.