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실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) x < 0인 모든 실수 x에 대하여 f(x) = x² + ax + b이다. (나) 모든 실수 x에 대하여 f(x+2) = f(x) + 4x + 4이다. 함수 f(x)가 x = 1에서 미분가능하고 f(1) = 5일 때, f(3)의 값은? (단, a, b는 상수이다.)
정답: 3번
해설: 조건 (나)에서 f(x+2) = f(x) + 4x + 4 = f(x) + (x+2)² − x²을 관찰. 즉 f(x+2) − (x+2)² = f(x) − x². g(x) = f(x) − x²으로 놓으면 g(x+2) = g(x). g는 주기 2인 주기함수. x < 0이면 f(x) = x² + ax + b이므로 g(x) = ax + b (x < 0). 주기 2이므로 0 ≤ x < 2인 영역에서 g(x) = g(x−2) = a(x−2) + b (x−2 < 0, 즉 x < 2이므로 적용 가능). 따라서 0 ≤ x < 2에서 g(x) = ax − 2a + b. f(x) = g(x) + x²이므로 0 ≤ x < 2에서 f(x) = x² + ax − 2a + b. 핵심 전략: f(x+2) = f(x) + 4x + 4를 보면 g(x) = f(x) − x²은 주기 2인 주기함수임을 파악하는 것이 핵심. x = 0에서의 연속성으로 상수 결정 후 점화식으로 f(3)을 계산합니다.