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함수 f(x) = x³ - 3x² + ax + b (a, b는 실수)에 대하여 함수 g(x) = |f(x)|가 다음 조건을 만족시킨다. (가) g(x)는 x = 1에서 미분가능하지 않다. (나) 방정식 g(x) = k는 서로 다른 실수해를 정확히 3개 갖는 양수 k가 존재한다. (다) 모든 실수 x에 대하여 g(x) ≥ 0이고, g(x) = 0을 만족시키는 x의 개수는 2이다. 100(a + b)의 값을 구하시오.
정답: 4번
해설: g(x) = |f(x)|가 x = 1에서 미분불가능 → f(1) = 0이어야 함 (|f|는 f = 0인 점에서만 미분불가능 가능) f(1) = 0이므로 1 - 3 + a + b = 0 → a + b = 2 f(x) = x³ - 3x² + ax + b = (x-1)(x² - 2x - b) 로 인수분해 시도 핵심 전략: |f(x)|의 미분불가능 조건, 방정식 해의 개수 조건, 영점 개수 조건을 순서대로 대입하면 미지수가 순차적으로 결정됩니다. 중근 여부와 부호 변화 분석이 핵심입니다.