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실수 전체에서 미분가능한 함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) x ≥ 0 일 때, f(x) = x³ - 3x² + ax + b (a, b는 상수) (나) 모든 실수 x에 대하여 f(x) = f(2 - x) ∫₀⁴ f(x) dx = k 라 할 때, 60k의 값을 구하시오. (단, f(0) = 1)
정답: 1번
해설: 조건 (나): f(x) = f(2 - x) 는 x = 1에 대한 대칭 조건. 즉, f(1 + t) = f(1 - t) f(0) = 1 조건 적용: b = 1. 또한 대칭에 의해 f(2) = f(0) = 1. f(2) = 8 - 12 + 2a + b = 2a - 4 + b = 1 → 2a - 4 + 1 = 1 → 2a = 4 → a = 2 핵심 전략: 대칭 조건 f(x)=f(2-x)를 이용해 정적분 구간을 분할하고, 치환적분으로 각 구간의 값을 동치 변환하는 것이 핵심 전략입니다.