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흰 공 4개, 검은 공 3개가 들어 있는 주머니에서 임의로 3개의 공을 꺼낼 때, 꺼낸 공 중 흰 공의 수를 확률변수 X라 하자. 확률변수 Y = aX + b (a, b는 상수, a ≠ 0)에 대하여 E(Y) = 12, V(Y) = 9 일 때, a² + b²의 값을 구하시오.
정답: 2번
해설: X는 초기하분포를 따른다. 흰 공 4개, 검은 공 3개 중 3개 선택. P(X=k) = C(4,k)·C(3,3-k) / C(7,3) (k = 0,1,2,3) C(7,3) = 35. P(X=0)=1/35, P(X=1)=12/35, P(X=2)=18/35, P(X=3)=4/35. 핵심 전략: 초기하분포의 기댓값 E(X)=nK/N과 분산 V(X)=nK(N-K)(N-n)/[N²(N-1)]을 공식으로 구한 뒤, 선형변환 E(Y)=aE(X)+b, V(Y)=a²V(X) 조건으로 a, b를 결정합니다.