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함수 f(x) = x³ - 6x² + 9x + k에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정수 k의 개수를 구하시오. (가) 방정식 f(x) = 0은 서로 다른 세 실근을 갖는다. (나) 세 실근의 합은 6이다.
정답: 3번
해설: f(x) = x³ - 6x² + 9x + k의 도함수: f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3) 극값 위치: x = 1에서 극대, x = 3에서 극소. f(1) = 1 - 6 + 9 + k = 4 + k, f(3) = 27 - 54 + 27 + k = k f(x) = 0이 서로 다른 세 실근을 가지려면: 극대값 > 0 이고 극소값 < 0 이어야 한다. 핵심 전략: 삼차함수 f(x) = x³ + px² + qx + r의 세 근의 합은 항상 -p (비에타 공식). 서로 다른 세 실근 조건은 극대값 > 0 이고 극소값 < 0임을 기억하라.