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함수 f(x) = xeˣ − aeˣ (a는 상수)에 대하여 함수 g(x)를 다음과 같이 정의한다. g(x) = ∫₀ˣ f(t) dt 실수 전체에서 정의된 함수 h(x) = g(x)·f(x)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) h(x)는 x = a에서 극댓값을 갖는다. (나) h(x)의 모든 극값의 합은 −eᵃ이다. 상수 a의 값을 구하시오. [변형 유형] 선택지를 역순으로 재구성한 훈련 문제입니다.
정답: 1번
해설: f(x) = eˣ(x − a)이므로 f(x) = 0의 근은 x = a f'(x) = eˣ(x − a) + eˣ = eˣ(x − a + 1)이므로 f(x)는 x = a−1에서 최솟값 −eᵃ⁻¹을 가짐 g(x) = ∫₀ˣ eᵗ(t − a) dt = [eᵗ(t − a)]₀ˣ − ∫₀ˣ eᵗ dt = eˣ(x−a+1) − (−a+1) − eˣ + 1 = eˣ(x−a) + (a−1)·1 + 1 을 정리하면 g(x) = eˣ(x − a + 1) − e⁰(0 − a + 1) − (eˣ − 1) = eˣ(x−a) − (1−a) 핵심 전략: h(x) = g(x)·f(x)의 극값 조건에서 f(a)=0을 이용해 g(a)의 부호로 극대/극소를 판정하고, 극값의 합 조건으로 a를 결정합니다. u = eˣ(x−a) 치환이 계산을 단순화합니다. [변형 메모] 반자동 생성 문제입니다. 원문 풀이 구조는 동일하고, 선택지 방향만 역순으로 변경했습니다.