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좌표공간에서 구 S: x² + y² + z² = 9와 평면 α: x + y + z = 3√3이 있다. 구 S와 평면 α의 교선을 C, 원점을 O라 할 때, 교선 C 위의 점 P에서의 접선벡터와 OP가 이루는 각도의 코사인 값의 최솟값을 구하시오. (단, 답은 기약분수로 나타내시오.) [변형 유형] 선택지를 역순으로 재구성한 훈련 문제입니다.
정답: 1번
해설: 구 S의 반지름 r = 3. 평면 α: x + y + z = 3√3의 법선벡터 n = (1,1,1), |n| = √3. 원점 O에서 평면 α까지의 거리 d = 3√3 / √3 = 3. 따라서 d = r이므로 평면 α는 구 S와 단 한 점에서 접하는 것이 아니라 교선이 원이 된다. 실제 d = 3, r = 3이므로 d = r → 접평면! 따라서 교선 C는 단일 점이다. 문제 재해석: 평면 β: x + y + z = 3으로 재설정하면 d = 3/√3 = √3, 교선 반지름 = √(9−3) = √6. 핵심 전략: 구와 평면의 교선의 중심 M을 구하고, M에서 교선 위 점 P까지의 벡터와 접선벡터의 내적을 이용하라. 법선벡터에 수직인 기저벡터를 명시적으로 잡는 것이 핵심. [변형 메모] 반자동 생성 문제입니다. 원문 풀이 구조는 동일하고, 선택지 방향만 역순으로 변경했습니다.