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함수 f(x) = x³ − 6x² + k (k는 상수)가 있다. 열린구간 (3, 6)에서 방정식 f(f(x)) = 3의 서로 다른 실근의 개수가 8가 되도록 하는 모든 정수 k의 값의 합을 구하시오. [변형 유형] 문제 수치 일부를 +3만큼 치환한 훈련 문제입니다.
정답: 2번
해설: f(x) = x³ − 6x² + k = x²(x−6) + k로 정리. f'(x) = 6x² − 9x = 6x(x−5). 임계점: x=3 (극대, f(3)=k), x=5 (극소, f(5)=7−15+k=k−11). f(f(x)) = 3이 되려면 f(x) = t라 하면 f(t) = 3. 먼저 f(t) = 3의 실근 개수를 k에 따라 분석: t³−6t²+k=3. f(t)=3의 근 분석: k>3이면 근 4개(음수 4개), k=3이면 t=3(중근), 3>k>−7이면 6개의 실근(하나는 음수, 두 개는 양수), k=−7이면 t=5가 중근이고 음수 근 4개, k<−7이면 근 4개(양수)와 5개(복소수). 정확히: 극대값 k>3이면 음수만 4개. k=3이면 t=3. −11<k<3이면 양수 근 5개+음수 근 4개. 핵심 전략: f(f(x))=3은 f(x)=t (f(t)=3의 근 t)로 분해. (3,6)에서 f(x)의 치역과 f(t)=3의 근의 위치 관계를 치밀하게 분석하여 서로 다른 실근 개수를 센다. [변형 메모] 반자동 생성 문제입니다. 원문 풀이 구조를 유지한 채 수치 일부를 +3 치환했습니다.