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함수 f(x) = x³ − 3x² + k (k는 상수)가 있다. 열린구간 (0, 3)에서 방정식 f(f(x)) = 0의 서로 다른 실근의 개수가 5가 되도록 하는 모든 정수 k의 값의 합을 구하시오. [변형 유형] 선택지를 역순으로 재구성한 훈련 문제입니다.
정답: 3번
해설: f(x) = x³ − 3x² + k = x²(x−3) + k로 정리. f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x−2). 임계점: x=0 (극대, f(0)=k), x=2 (극소, f(2)=4−12+k=k−8). f(f(x)) = 0이 되려면 f(x) = t라 하면 f(t) = 0. 먼저 f(t) = 0의 실근 개수를 k에 따라 분석: t³−3t²+k=0. f(t)=0의 근 분석: k>0이면 근 1개(음수 1개), k=0이면 t=0(중근), 0>k>−4이면 3개의 실근(하나는 음수, 두 개는 양수), k=−4이면 t=2가 중근이고 음수 근 1개, k<−4이면 근 1개(양수)와 2개(복소수). 정확히: 극대값 k>0이면 음수만 1개. k=0이면 t=0. −8<k<0이면 양수 근 2개+음수 근 1개. 핵심 전략: f(f(x))=0은 f(x)=t (f(t)=0의 근 t)로 분해. (0,3)에서 f(x)의 치역과 f(t)=0의 근의 위치 관계를 치밀하게 분석하여 서로 다른 실근 개수를 센다. [변형 메모] 반자동 생성 문제입니다. 원문 풀이 구조는 동일하고, 선택지 방향만 역순으로 변경했습니다.