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함수 f(x) = x³ - 6x² + 9x + k (k는 상수)에 대하여 곡선 y = f(x) 위의 점 (t, f(t))에서의 접선이 곡선 y = f(x)와 오직 두 점에서만 만나도록 하는 모든 실수 t의 값의 합을 구하시오.
정답: 2번
해설: f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3). 극대 x=1 (f(1)=4+k), 극소 x=3 (f(3)=k) 점 (t, f(t))에서 접선의 방정식: y - f(t) = f'(t)(x - t), 즉 y = f'(t)·x - t·f'(t) + f(t) 접선과 곡선의 교점: x³ - 6x² + 9x + k = f'(t)·x - t·f'(t) + f(t) x³ - 6x² + (9 - f'(t))x + (k + t·f'(t) - f(t)) = 0 (x - t)는 반드시 인수 → (x-t)²(x-a) = 0 꼴이거나 (x-t)(x²+bx+c)=0 꼴 핵심 전략: 3차 곡선에서 접점 t의 접선과 곡선의 교점은 (x-t)²(x-(6-2t)) 인수분해로 분석한다. 삼중근 조건(t=2)을 제외하면 접선이 두 점에서 만나는 t의 합을 구할 수 있다.