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최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)와 함수 g(x) = |f(x)| 에 대하여 다음 조건을 모두 만족시키는 f(x)를 구하시오. (가) f(0) = 0 (나) x > 0인 모든 실수 x에 대하여 g'(x)가 존재한다. (다) 함수 g(x)는 x = -1에서 극솟값 0을 갖는다. f(-2)의 값을 구하시오.
정답: 1번
해설: f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이고 f(0)=0이므로 f(x) = x(x-α)(x-β) 형태 (α, β는 실수) 조건 (나): x>0에서 g'(x) = |f(x)|'이 존재하려면, x>0에서 f(x)=0인 점에서 f(x)의 부호가 바뀌지 않아야 한다. 즉 x>0에서 f의 근이 없거나 중근이어야 한다. 조건 (다): g(x)=|f(x)|가 x=-1에서 극솟값 0 → f(-1)=0이고 x=-1 근방에서 f(x) ≤ 0 (또는 ≥ 0으로 극소). g의 극솟값이 0이므로 |f(-1)|=0, 즉 f(-1)=0 핵심 전략: |f(x)|의 미분 가능성 조건은 f(x)=0인 점에서 f(x)의 부호가 바뀌지 않는 것(이중근 또는 접선근)임을 핵심으로 삼아, 각 조건을 근의 구조로 변환하여 분석한다.